Hola, soy Miguel Sama, y voy a explicar de manera breve
y muy simplificada una aplicación de optimización en las elastografías en
la que estamos trabajando actualmente en el grupo de investigación.
Para ello partimos de la ecuación de elasticidad,
que considera un cuerpo Omega, lo sometemos a una fuerza exterior F
y del que conocemos el coeficiente de rigidez,
o de dureza del propio cuerpo.
Entonces, a través de la ecuación de elasticidad,
podemos encontrar el desplazamiento que se produce
al haber aplicado dicha fuerza F. De manera muy simplificada,
aunque realmente no es así, podemos escribirlo
en una ecuación en derivadas, como la que vemos en la pantalla,
y lo que acabo de describir no es más que el problema directo.
Dado el coeficiente A y la fuerza F,
determinar el desplazamiento que se produce.
Nuestro interés en la elastografía es el problema inverso,
que no es más que darle un poco la vuelta al problema.
Es decir, tenemos una medición Z
del desplazamiento que se produce al aplicar una fuerza F,
y lo que buscamos es el coeficiente de rigidez.
La aplicación es clara, nos permite detectar en
un cuerpo, si sabemos medir el desplazamiento,
nos permite detectar, las zonas de rigidez,
separarla zonas por rigidez o dureza,
y así por ejemplo en medicina,
eso nos permite detectar aquellos tumores
que tienen una mayor rigidez que la piel sana.
Una de las características de los problemas inversos
es que, aparte de darle la vuelta al problema,
es que tiene una mayor dificultad para resolverlos que el problema directo.
Por tanto no se pueden resolver de manera digamos,
resolviendo la ecuación directamente con algún método numérico,
como hacemos en el método directo,
sino que tendremos que aplicar técnicas alternativas.
Una de las técnicas alternativas es a través de la optimización,
y bueno, aquí vemos en la parte inferior de la pantalla
el problema, que realmente resolvemos, una simplificación,
no es exactamente eso, a través de una técnica de mínimos cuadrados.
Como sabemos resolver el problema directo
para cada A podemos determinar el desplazamiento asociado,
y lo que buscamos es encontrar aquel A cuyo desplazamiento
sea lo más cercano posible al de la medición.
Bueno, lo que hace la elastografía es encontrar una medición barata
y relativamente fiable a través de una técnica,
una tecnología no invasiva, que produzca el menor daño,
y bueno pues aquí en la pantalla vemos un ejemplo de tecnología que se usa
y es la que estamos trabajando actualmente nosotros, que es
mediante un aparato de ultrasonidos. Bueno, vemos un esquema
de cómo se aplica el aparato de ultrasonidos,
que realmente cuando aplicamos el aparato de ultrasonidos
lo que hacemos es obtener una imagen, o tener dos imágenes,
una previa al aplicar la fuerza, que la fuerza misma es la fuerza
que se aplica con el aparato,
y una posterior a aplicar la fuerza, de esa manera
identificar los puntos, cómo se mueven
y medir el desplazamiento.
Bueno, y quisiera acabar con un experimento real
en elastografías que acabamos,
bueno, pues estar trabajando, hemos trabajado juntos
los profesores del Instituto tecnología de Rochester,
la profesora Jadamba y el profesor Khan,
el profesor Richards, y que está basado en realizar un experimento
con un especimen de gelatina,
donde, bueno, podemos ver en la foto, en blanco y negro,
el especimen, donde hay una parte superior,
digamos que sirve de contraste,
que tiene mayor rigidez, y después, un fondo blanco,
con una rigidez muy, muy pequeña, y después en el centro del especimen
situamos una inclusión.
Bueno, una vez con este tipo de especímenes, se hace una
mendición por ultrasonidos y, digamos, nosotros obtenemos
a través de un experimento una medición de z,
y lo que hacemos con las matemáticas es resolver el problema de optimización.
Ya con la, con la ecuación de elasticidad real,
no la que he demostrado y podremos ver el resultado
en las imágenes por ordenador,
en donde, bueno, podemos ver la inclusión,
donde, se ha aislado la inclusión del resto del cuerpo,
podemos ver la forma esférica de la inclusión,
y en la otra figura podemos ver un corte vertical,
donde bueno, un corte vertical de la distribución de dureza
del material que se corresponde con el
especimen de la foto en blanco y negro,
donde podemos apreciar en la parte de arriba,
en la zona de contraste y dentro del objeto, pues la inclusión.
Bueno, pues realmente esta es el tipo de aplicaciones en las elastografía,
donde aplicamos optimización y era un poco, pues lo que queríamos mostrar.