Los gases son algo muy común en la naturaleza.
Siempre han estado presentes en nuestra vida diaria
y sus propiedades permiten utilizarlos
en muy diversas aplicaciones.
Al intentar explicar las propiedades externas de los gases
los científicos se plantearon siempre interrogantes como:
¿cuál es la estructura de los gases y cuál es su comportamiento interno?
Los métodos empleados para contestar a éstas
y otras preguntas relacionadas con los gases
han ido variando de acuerdo con la evolución de las teorías físicas
y de los dispositivos experimentales y de cálculo
disponibles en cada momento.
Los físicos James Clerk Maxwell y Ludwig Edward Boltzman
elaboraron en la segunda mitad del siglo XIX
el primer estudio en profundidad sobre el comportamiento de los gases.
En su estudio tomaron como punto de partida las ideas de Bernoulli
y otros físicos que habían elaborado distintas teorías sobre los gases.
El estudio de Maxwell y Boltzman se basa en considerar que el gas
está compuesto por partículas puntuales de tamaño despreciable
que interactúan por contacto mediante colisiones elásticas.
A partir de estas hipótesis, Maxwell y Boltzman
describieron el comportamiento de las partículas del gas,
despreciando los rozamientos y las fuerzas de acción a distancia.
A este modelo de gas se le denomina gas ideal
y resulta una simplificación muy útil
para aproximarse al estudio del comportamiento de los gases reales.
En un gas ideal las partículas se rigen por las leyes de Newton,
las de conservación de la energía y del momento lineal.
Por lo que conociendo las posiciones y velocidades iniciales
de estas partículas puntuales,
parece sencillo estudiar su evolución en el tiempo.
Sin embargo,
el número de partículas que intervienen en un gas es tan elevado
que impide en la práctica realizar este tipo de cálculo,
debido a limitaciones de tiempo y de almacenamiento de datos.
Un ejemplo del gran número de partículas contenidas en un gas
es el del aire que encerramos en esta botella.
Este aire se encuentra en las condiciones típicas del ambiente,
a una temperatura de unos 20ºC y una presión aproximada de una atmósfera.
A partir del valor experimental del número de Avogadro, se deduce,
que el número de moléculas contenidas en esta botella de un litro
es del orden de 10 elevado a 22,
de manera que es imposible estudiar las trayectorias
de todas estas partículas simultáneamente.
Sin embargo, y desde un punto de vista práctico,
lo que realmente interesa
es conocer las propiedades macroscópicas del gas,
que son el resultado de promediar las acciones individuales
de todas las partículas que lo componen.
El elevado número de partículas obligo a Maxwell y Boltzman
a utilizar razonamientos estadísticos,
en los que no se considera la evolución individual
de cada una de ellas.
Con estos métodos, ellos obtuvieron
la distribución de velocidades de las partículas de un gas ideal.
La distribución indica
cuantas partículas tienen una determinada velocidad,
pero no especifica cuales son dichas partículas,
ni tampoco donde se encuentran en cada instante.
Actualmente, gracias a los ordenadores,
se puede calcular la evolución de una fracción de las partículas del gas
estudiando sus trayectorias individuales.
De este modo es posible comprobar mediante una simulación,
si los resultados predichos por Maxwell y Boltzman
se pueden deducir mediante la aplicación de las leyes de Newton
a todas y cada una de las moléculas del gas.
Para realizar esta simulación con el ordenador
hay que elegir una fracción del gas con un número adecuado de partículas
que cumplan las condiciones siguientes:
Debe ser suficiente para poner de relieve las propiedades del gas,
y además no debe ser muy grande,
para que el tiempo del cálculo no sea excesivo.
La experiencia indica que un número de 100 partículas
cumple esos dos requisitos y permite obtener una serie de conclusiones
físicamente interesantes.
Los cálculos y la representación se hacen más sencillos,
sin perder las características esenciales,
si se considera el movimiento en dos dimensiones.
Este movimiento de las partículas del gas en dos dimensiones,
es análogo al de un sistema físico real muy conocido,
como es el del billar.
El comportamiento de las bolas de un billar
se rige aproximadamente con las mismas hipótesis básicas
que el de las partículas que componen un gas ideal.
Mientras no hay colisiones la bola se mueve en línea recta,
y si no existiera el rozamiento
el módulo de la velocidad se mantendría constante.
En el modelo ideal únicamente actúan fuerzas
cuando hay contacto con otra bola o con la pared.
Como se conserva el momento lineal
en cada colisión con la pared no cambia el módulo de la velocidad,
solo se invierte el signo de su componente normal.
Si las bolas y la pared fueran indeformables
las colisiones serían perfectamente elásticas.
Este sistema real tiene otra característica
que conviene considerar.
Las bolas no son puntuales como el modelo de Maxwell y Boltzman,
si no que tienen un tamaño finito.
Gracias a esta propiedad
la mayor parte de las colisiones no son centrales
y las velocidades de salida pueden ser muy variadas.
En nuestra simulación con ordenador
vamos a emplear un recinto con caja rectangular,
equivalente a la mesa de billar anterior.
El recinto se representa en este panel, en el que hay 100 partículas.
El diámetro de cada una de ellas, en la simulación,
será la centésima parte del ancho de la caja.
Naturalmente en este panel
se ha exagerado mucho el tamaño de cada partícula,
en relación al tamaño del recinto.
Para simular la evolución bastara con asignar a cada partícula
su posición y su velocidad iniciales
y calcular con el ordenador su movimiento
de acuerdo con las leyes de Newton.
En la simulación cada partícula se representará mediante una flecha
que indica la dirección y sentido de su velocidad.
Gracias al ordenador obtendremos en cada instante una imagen como esta,
de la distribución espacial de las partículas dentro de la caja.
Para comparar la simulación
con los cálculos estadísticos de Maxwell y Boltzman,
las partículas se clasificaran de dos modos diferentes.
El primero consiste en agruparlas por intervalos,
según el módulo de su velocidad.
Así por ejemplo,
esta partícula cuyo módulo es 0,90 en unas unidades arbitrarias,
se clasificará en este intervalo.
Esta otra partícula, cuyo módulo también es 0,90,
corresponderá al mismo intervalo.
Esta partícula cuyo módulo es 0,15, se clasificará en este intervalo.
Después de clasificar de esta manera todas las partículas del recinto,
obtenemos un histograma como este
de la distribución de frecuencias de la velocidad de las partículas.
La segunda manera de clasificarlas
consiste en contar todas las partículas
cuyo módulo de velocidad es menor que un valor dado.
Así por ejemplo, en el primer intervalo tendremos una partícula.
En el segundo intervalo tendremos una más tres, cuatro partículas.
En el tercer intervalo tendremos cuatro más siete, once partículas.
El resultado final de esta clasificación
es un histograma de la distribución acumulativa de velocidades
de las partículas dentro del recinto.
El ordenador irá clasificando en cada instante
las partículas de estos dos modos diferentes,
y presentará los resultados en gráficas como estas.
Esta es la distribución de partida,
las 100 partículas salen con velocidades iguales en módulo,
pero en dirección radial.
Su posición media está situada
por debajo del centro de la pared izquierda.
Haremos que evolucionen en el tiempo,
de acuerdo con los cálculos realizados por el ordenador.
Se observa que mientras se producen colisiones con la pared
no se modifican las distribuciones de velocidad,
igual que en la mesa de billar,
en estas colisiones solo se invierte la componente normal de la velocidad
y la partícula continúa clasificada
en el mismo grupo al que pertenecía inicialmente.
En cambio cuando se produce una colisión no central entre partículas,
la distribución de velocidades se modifica.
La distribución de velocidades
se va diferenciando claramente de las de partida.
Las partículas se han distribuido ya uniformemente por toda la caja,
ahora seguiremos su evolución más lentamente.
No se aprecian cambios importantes
respecto a los observados anteriormente,
por lo que se deduce que el sistema ha alcanzado
una situación de cierta estabilidad, que podemos llamar de equilibrio.
Si analizamos la última imagen
obtenida en la simulación del comportamiento del gas,
lo primero que destaca
es la distribución espacial de las partículas,
pues se reparten por toda la caja,
sin concentrarse en una zona determinada.
Esta es una situación de desorden
que contrasta con la regularidad
con que estaban distribuidas inicialmente.
Igualmente si se observan las gráficas referentes a la velocidad
se extraen conclusiones significativas.
Las distribuciones iniciales marcadas en línea discontinua
se han modificado fuertemente en el transcurso del tiempo,
como se muestra en los histogramas de color rojo.
Sin embargo, durante la última fase de la evolución,
su forma ha oscilado alrededor de un esqueleto imaginario,
como se puede ver superponiendo las distribuciones
correspondientes a varios instantes diferentes.
Esto significa que el gas ideal tiende hacia cierto estado promedio,
alrededor del cual fluctúa constantemente.
Este hecho se puede confirmar indirectamente de otra manera.
De modo análogo al concepto de presión en tres dimensiones,
se puede calcular con el ordenador la fuerza por unidad de longitud
que se ejerce sobre las paredes del recinto que contiene las partículas.
Este parámetro evoluciona temporalmente,
como se ve en esta gráfica.
Las fuertes fluctuaciones iniciales
se han amortiguado al transcurrir el tiempo,
y la fuerza por unidad de longitud tiende a un valor promedio.
Naturalmente en la simulación
se ha utilizado un reducido número de partículas
y siempre persisten fluctuaciones alrededor del valor de equilibrio.
Hemos llegado así a un punto clave en nuestro estudio.
Los cálculos hechos por el ordenador
equivalen a un experimento físico de carácter numérico.
Como el tratamiento estadístico hecho por Maxwell y Boltzman
parte de las mismas hipótesis básicas que la simulación con ordenador,
debemos comprobar los resultados de ambos métodos,
para ver si la teoría está de acuerdo con la experiencia.
Esta es la ley de distribución de velocidades de Maxwell y Boltzman
en tres dimensiones.
"N" de "v", define el estado de equilibrio del gas,
y representa la distribución más probable entre todas las posibles.
Si se rehace el cálculo en dos dimensiones,
adopta una forma ligeramente diferente.
Lo mismo sucede con la distribución acumulativa.
Estas dos últimas expresiones teóricas
son las que deben compararse con las distribuciones experimentales
obtenidas en la simulación.
Para estimar la distribución más probable
se promedian las distribuciones de velocidad obtenidas
durante la última fase de la evolución.
Vamos a ver ahora el resultado de la comparación
entre la teoría y la simulación.
Comenzaremos por la distribución de velocidades.
El histograma de color rojo
representa la distribución de velocidades promediada
y la curva continua de color negro
la distribución teórica de Maxwell y Boltzman,
se puede ver asimismo en línea discontinua
la distribución inicial en otra escala.
El resultado de la comparación es satisfactorio,
ya que los valores que resultan de la simulación
se ajustan bien a las curvas teóricas de Maxwell y Boltzman.
Se observa una asimetría característica
en la zona de altas velocidades
y una gran dispersión de los valores de la velocidad.
Veamos ahora la distribución acumulativa de velocidades.
Se observa que el promedio de esta distribución,
representados por círculos de color rojo,
presenta la misma coincidencia de características con la curva teórica.
A través de esta simulación
se ha comprobado que la aplicación de las leyes de Newton
a las partículas que componen un gas ideal,
conduce a conclusiones análogas a las que obtuvieron Maxwell y Boltzman
al estudiar estadísticamente este tipo de gas.
Maxwell y Boltzman estudiaron un modelo de gas compuesto
por partículas independientes de tamaño despreciable y sin rozamiento.
Mediante un estudio teórico llegaron a conclusiones
sobre el comportamiento de ciertas variables macroscópicas del gas
en el estado de equilibrio.
En la simulación se ha supuesto
que el gas está compuesto por partículas independientes,
sin rozamiento, pero con un tamaño finito.
Mediante al cálculo de la evolución individual de cada partícula
se ha llegado a una descripción microscópica del gas
que evoluciona con el tiempo.
Considerando la aportación de todas las partículas
en el estado de equilibrio
se obtienen conclusiones semejantes a las establecidas
por Maxwell y Boltzman para las variables macroscópicas.
Esta coincidencia en los resultados
pone de manifiesto que además de los métodos clásicos,
es posible emplear hoy, gracias a los ordenadores,
nuevos procedimientos para estudiar
el comportamiento de sistemas físicos.
Además de comprobar resultados ya conocidos,
las simulaciones muestran aspectos del problema
que antes no se apreciaban claramente,
como la evolución hacia el equilibrio del gas ideal que se ha simulado.
La capacidad de seguir la evolución de sistemas físicos muy variados,
hace que las simulaciones en la actualidad
sean un instrumento muy útil para ayudar a los científicos
a una comprensión mejor de los fenómenos físicos.
como la evolución hacia el equilibrio del gas ideal que se ha simulado.
La capacidad de seguir la evolución de sistemas físicos