Las teorías cosmológicas actuales
especulan sobre la estructura simétrica del universo.
El descubrimiento de las antipartículas
ha dado origen a la dualidad materia-antimateria.
La simetría parece estar presente en muchos sistemas,
desde los macroscópicos de la cosmología
a los microscópicos de las partículas elementales.
Galaxias, conjuntos de estrellas y sistemas planetarios
tienen frecuentemente estructuras simétricas.
El análisis e identificación de la simetría de un sistema
facilita considerablemente su estudio.
En nuestro mundo
es frecuente observar seres con algunas propiedades de simetría.
A escala microscópica,
las moléculas también tienen, a veces, estructuras simétricas.
Los átomos de hidrógeno y de oxígeno,
al unirse para formar la molécula de agua,
dan lugar a una estructura molecular simétrica.
Sabemos que existen moléculas, como la de benceno,
que es más simétrica o tiene más simetría que la de agua,
pero esto es una forma imprecisa de hablar.
Para definir de una forma rigurosa la simetría de las moléculas
es necesario caracterizar sus propiedades de simetría.
Para ello se hace uso de las denominadas
operaciones y elementos de simetría molecular.
Vamos a ver los distintos tipos de operaciones y elementos,
considerando en primer lugar
un modelo de la molécula de trifluoruro de boro.
La esfera marrón representa el átomo de boro
y las esferas verdes los tres átomos de flúor.
Los átomos de flúor se distribuyen en torno al átomo de boro,
formando ángulos de 120º.
Fíjense bien en el modelo molecular
y en la orientación espacial o configuración
en la que le hemos dejado.
¿Qué hemos hecho con la molécula mientras estaba tapada?
Se observa que es la misma molécula y la misma orientación espacial.
Podríamos expresar esto diciendo
que su configuración actual es indiscernible de la original.
Este es precisamente el concepto de operación de simetría.
Mientras estaba tapada la molécula
hemos efectuado una operación de simetría.
Pensemos que operaciones hemos podido efectuar.
Lo primero que a uno se le ocurre es que no hemos hecho nada,
hemos dejado la molécula tal como estaba.
Efectivamente ésta es siempre una posible operación de simetría,
y se la denomina Identidad,
representándola con la letra I mayúscula.
¿Qué otras operaciones hemos podido hacer?
Hemos podido rotar la molécula
hasta que la configuración final coincida con la original.
Para poder definir una rotación,
necesitamos referirnos a una línea recta imaginaria,
en torno a la cual tiene lugar la rotación.
Consideremos la línea que une el átomo central del boro
con uno de los átomos de flúor.
Vamos a hacer rotar la molécula en torno a dicha línea.
Cuando hemos rotado 180º, es decir 2? partido por 2 radianes,
es evidente que la configuración de la molécula
es indiscernible de la original.
Ésta es por tanto una operación de simetría,
se denomina rotación propia y se representa mediante la notación C(2).
Hemos considerado hasta ahora dos operaciones de simetría
de la molécula de trifluoruro de boro:
la Identidad y la rotación propia C(2).
Continuemos rotando la molécula en torno a la misma línea.
Cuando hemos rotado 2? radianes,
hemos efectuado dos veces la operación C(2),
lo que se indica como C(2)².
En la configuración final, cada átomo de la molécula
tiene la misma posición que tenía en la configuración original.
Por tanto, esta operación es igual a la operación Identidad,
que hemos mencionado anteriormente.
Para definir la rotación propia C(2)
hemos hecho uso de una línea respecto de la cual tenia lugar la rotación,
esta línea se denomina eje de rotación propia binario,
y se representa mediante C(2).
Según acabamos de ver este eje de rotación C(2)
genera dos operaciones de simetría: C(2) e I.
Evidentemente, además de esta línea,
las líneas imaginarias que unen el átomo central de boro
con los otros dos átomos de flúor,
son también ejes de rotación propia binarios.
De forma análoga a como hemos visto anteriormente,
las rotaciones de 180º en torno a estos ejes
son operaciones de simetría.
La molécula de trifluoruro de boro
tiene pues tres ejes de rotación propia binarios.
Como ya hemos indicado,
estos ejes se representan mediante la notación C(2).
Los entes geométricos, líneas en este caso,
respecto de las cuales pueden definirse operaciones de simetría
se denominan elementos de simetría.
Los ejes de rotación propia binarios que hemos considerado
son elementos de simetría de la molécula de trifluoruro de boro.
¿Qué otras operaciones hemos podido efectuar
sobre la molécula de trifluoruro de boro
para que ésta tenga una configuración indiscernible de la original?
Hemos podido hacer rotar la molécula en torno a una línea
que atraviesa el átomo central de boro
y es perpendicular a los ejes binarios anteriormente mencionados.
Como esta línea está orientada en dirección al observador,
queda reducida a un punto blanco.
Si observamos la molécula desde una orientación diferente,
podemos ver más claramente el eje dibujado en blanco
en torno al que vamos a hacer rotar la molécula.
Volvamos a la configuración original
y rotemos la molécula en torno al eje.
Cuando hemos rotado 120º o 2? partido por 3 radianes,
la configuración de la molécula es indiscernible de la original.
Hemos efectuado una operación de simetría, una rotación propia.
Como ha sido de 2? partido por 3 radianes,
lo representaremos con la notación C(3).
Continuemos rotando la molécula.
Cuando hemos rotado 240º, es decir, 4? partido por 3 radianes,
hemos efectuado dos veces la operación C(3),
lo que se indica como C(3)².
La molécula tiene una configuración indiscernible de la original.
Se trata de una operación de simetría, una rotación propia.
Los átomos de la molécula de trifluoruro de boro
tienen exactamente la misma posición
que tendrían efectuando una rotación de 2? partido por 3 radianes
sobre la configuración original, pero en el sentido de rotación inverso,
esto se indica igualando la operación C(3)²
a la operación C(3) elevado a -1.
Continuemos rotando la molécula.
Cuando hemos rotado 2? radianes,
hemos efectuado tres veces la operación C(3),
lo que se indica como C(3)³.
En la configuración final
cada átomo de la molécula tiene exactamente la misma posición
que tenía en la configuración original.
Por ello, esta operación de simetría es igual a la operación Identidad.
Hemos obtenido por consiguiente dos nuevas operaciones de simetría,
las rotaciones propias C(3) y C(3)².
Las operaciones de simetría de la molécula de trifluoruro de boro
consideradas hasta ahora son:
la identidad I, las tres rotaciones propias C(2)
y las rotaciones propias C(3) y C(3)².
Para definir estas dos últimas operaciones
hemos considerado una línea imaginaria
que atraviesa el átomo central de boro
y es perpendicular a los ejes binarios anteriormente mencionados.
Esta línea es por consiguiente un eje de rotación propia ternario,
que se representa mediante la notación C(3).
Se trata de un elemento de simetría de la molécula de trifluoruro de boro
y genera, como ya hemos visto,
las operaciones de simetría C(3), C(3)² e I.
La molécula de trifluoruro de boro
tiene tres ejes de rotación propia binarios y uno ternario,
según acabamos de ver.
En general, para una molécula cualquiera,
cuando una rotación de 2? partido por "n" radianes en torno a una línea
es una operación de simetría de la molécula,
se dice que ésta tiene un eje de rotación propio de orden "n"
y se representa mediante la notación C(n).
Naturalmente, un eje de rotación propia de orden "n",
genera una serie de operaciones de simetría, rotaciones propias,
cuyo número dependerá del orden "n".
Vamos a representar estas rotaciones por C(n) elevado a "m",
donde "m" toma los valores 1, 2, 3, etc., hasta "n".
Volviendo a la molécula de trifluoruro de boro,
¿qué otras operaciones podríamos haber efectuado?
Podríamos haber efectuado
una reflexión en un plano que contuviese a los tres ejes binarios.
Para poder apreciar mejor esta operación,
observemos la molécula desde una orientación diferente.
Consideremos ahora el plano indicado.
Y efectuemos la reflexión de la molécula en éste plano.
Es evidente que la configuración final
es indiscernible de la original,
lo único que ha sucedido
es que la parte de la molécula situada debajo del plano
está ahora encima, y viceversa.
Hemos efectuado una operación de simetría denominada reflexión.
Observemos que el plano sobre el que hemos efectuado la reflexión
es perpendicular al eje principal de la molécula de trifluoruro de boro,
es decir el de mayor orden C(3).
Por ello se dice que es un plano horizontal.
La reflexión en este plano
se designa con la letra griega sigma minúscula, con el subíndice h,
indicando que se trata de una reflexión en un plano horizontal.
Para definir esta reflexión hemos hecho uso de un plano horizontal.
Este ente geométrico es un elemento de simetría
de la molécula de trifluoruro de boro,
se denomina plano de simetría horizontal
y se designa con la notación sigma(h).
¿Qué otras operaciones hemos podido efectuar
sobre la molécula de trifluoruro de boro?
Podríamos haber efectuado una reflexión
en un plano que contuviese al eje de rotación principal,
es decir, al eje C(3) que es el de mayor orden de esta molécula,
y a uno de los ejes binarios C(2).
Efectuemos una reflexión en este plano.
Es evidente que la configuración final
es indiscernible de la original,
lo único que ha sucedido es que la parte de la molécula
situada a la izquierda del plano, está ahora a la derecha, y viceversa.
Hemos efectuado una reflexión en un plano que contiene
al eje principal de la molécula de trifluoruro de boro,
es decir, el eje C(3), por ello se dice que es un plano vertical.
La reflexión en este plano
se designa con la letra griega sigma minúscula con el subíndice "v",
indicando así que se trata de una reflexión en un plano vertical.
Para definir esta reflexión hemos hecho uso de un plano vertical.
Este ente geométrico es un elemento de simetría
de la molécula de trifluoruro de boro.
Es un plano de simetría vertical que se designa con la notación sigma(v).
Además de este plano de simetría vertical,
la molécula de trifluoruro de boro
tiene otros dos planos de simetría verticales
que contienen al eje principal C(3)
y a cada uno de los dos ejes C(2), respectivamente.
De forma análoga, como hemos visto anteriormente,
las reflexiones en estos planos son operaciones de simetría.
La molécula de trifluoruro de boro
tiene pues tres planos de simetría verticales.
Además de las operaciones y elementos de simetría
que hemos considerado hasta ahora,
existen tres tipos más que no hemos visto.
Uno de los gases que se queman en las antorchas de las refinerías
y plantas de gas natural, es el etano.
La molécula de etano en la conformación alternada
va a servirnos para describir nuevas operaciones y elementos de simetría.
En este modelo,
las dos esferas negras representan los átomos de carbono
y las esferas blancas, los átomos de hidrógeno.
Con la experiencia adquirida
en el estudio de la molécula de trifluoruro de boro,
podemos visualizar ahora fácilmente la presencia de un eje C(3)
en la conformación alternada de la molécula de etano.
Este eje C(3), coincide con el eje del enlace de carbono-carbono
de la molécula de etano.
Para verlo más fácilmente, vamos a orientar la molécula
de manera que este eje se dirija hacia el observador.
El observador en este caso percibirá este eje como un punto,
que se indica en color blanco en la imagen.
Si hacemos rotar la molécula en torno a este eje,
comprobamos que efectivamente
una rotación de 2? partido por 3 radianes,
es una operación de simetría C(3).
Pero además de este eje C(3),
la molécula de etano tiene tres ejes binarios C(2)
perpendiculares al C(3).
En la imagen vemos uno de ellos,
perpendicular al eje C(3) en el punto medio del enlace carbono-carbono.
Haciendo rotar la molécula en torno a este eje C(2),
podemos llegar a la orientación que ya hemos considerado anteriormente.
En esta orientación,
resulta más fácil comprobar que una rotación de 180º en torno a este eje,
es una operación de simetría.
En efecto, una rotación de este tipo
transformará los átomos que están delante o más próximos al observador,
en los que están detrás o más alejados.
Resulta evidente que además de este eje C(2),
existen otros dos ejes C(2)
equivalentes al que acabamos de considerar,
y también perpendiculares al eje C(3),
en el punto medio del enlace carbono-carbono
de la molécula de etano.
En esta otra orientación de la molécula,
puede verse la disposición espacial de los tres ejes C(2).
Veamos ahora una nueva operación de simetría,
que no hemos considerado hasta ahora.
Consideremos un plano que contiene al eje C(3) y biseca ejes C(2),
tal y como se muestra en la imagen.
Evidentemente una reflexión en este plano es una operación de simetría.
Veamos este plano desde una orientación distinta.
Se observa que contiene al eje principal C(3)
y biseca el ángulo formado entre dos ejes C(2).
En esta figura, podemos observar que una reflexión en este plano,
dejaría la molécula de etano
en una configuración indiscernible de la original.
Quizás se vea con mayor claridad la operación reflexión
en la orientación original,
es decir, viendo la molécula en la dirección del eje C(3).
En esta dirección el plano respecto del cual se efectúa la reflexión,
se ve como una línea.
Hemos efectuado una reflexión
en un plano que contiene al eje principal de la molécula de etano,
es decir, el eje C(3),
podríamos decir por tanto que se trata de un plano vertical.
Pero este plano vertical tiene una particularidad,
que biseca dos ejes C(2).
Este tipo especial de plano vertical se denomina plano diedro o diagonal.
La reflexión en este plano
se designa con la letra griega sigma minúscula y el subíndice "d",
indicando así que se trata de una reflexión
en un plano diedro o diagonal.
Este nuevo tipo de operación de simetría
le incorporamos a la relación de operaciones de simetría,
que venimos confeccionando desde el principio.
Para definir esta reflexión
hemos hecho uso de un plano diedro o diagonal.
Este ente geométrico es un elemento de simetría
de la molécula de etano en la conformación alternada,
es un plano de simetría diedro o diagonal
que se designa con la notación sigma(d).
Añadimos también este elemento de simetría
a la relación de elementos que vamos construyendo.
Además de este plano de simetría diagonal,
la molécula de etano en la conformación alternada
tiene otros dos planos de simetría diagonales que contienen al eje C(3)
y bisecan los ángulos formados por los ejes C(2).
De forma análoga a como hemos visto anteriormente,
las reflexiones en estos planos son operaciones de simetría.
La conformación alternada de la molécula de etano
tiene pues tres planos de simetría diagonales o diedros.
Observando la molécula en la dirección del eje C(3),
podemos ver con mayor claridad
la disposición de estos tres planos diagonales.
¿Qué otras operaciones de simetría podríamos haber efectuado
sobre la conformación alternada de la molécula de etano?
Consideremos un punto de la molécula,
el punto medio del enlace carbono-carbono sobre el eje C(3).
Vamos a tomar un par de átomos del modelo,
equidistantes respecto de este punto
y que ocupan posiciones opuestas respecto del mismo.
Y vamos a invertir su posición respecto a dicho punto.
Evidentemente la configuración final es indiscernible de la original.
Esto que hemos hecho para una pareja de átomos de hidrógeno,
vamos a hacerlo con todos los átomos de la molécula.
Tomaremos pares de átomos de la molécula
que ocupen posiciones opuestas
respecto del punto que hemos señalado
e intercambiamos, o invertimos sus posiciones.
Lo hacemos con los seis átomos de hidrógeno
y los dos átomos de carbono que componen la molécula.
Si observásemos la molécula en la dirección del eje C(3),
el proceso completo que hemos efectuado podría indicarse así.
El punto respecto del cual se invierten los átomos,
resulta eclipsado en esta orientación de la molécula
por el átomo de carbono que aparece en primer término.
Resulta evidente que los átomos que aparecen
más próximos al observador, en un primer plano,
se transforman en los más alejados.
La configuración final es indiscernible de la original.
Hemos efectuado una operación de simetría denominada inversión.
La operación de inversión se designa con la letra "i" minúscula,
que no hay que confundir con la operación Identidad
que ya hemos visto, y que se designa con la letra I mayúscula.
Para definir la operación inversión
hemos hecho uso de un punto de referencia.
Este ente geométrico es un elemento de simetría
de la molécula de etano en la conformación alternada,
es un punto que se denomina centro de simetría o centro de inversión
y se designa con la notación "i" minúscula.
¿Qué otras operaciones de simetría podríamos haber efectuado
sobre la conformación alternada de la molécula de etano?
Vamos a considerar un último tipo de operaciones de simetría.
Para verlo más fácilmente
observemos la molécula en la dirección del eje C(3),
en esta orientación, como ya sabemos, se observa el eje como un punto
que en la figura se indica en color blanco.
Hagamos rotar la molécula 60º,
es decir, 2? partido por 6 radianes, en torno a dicho eje.
Evidentemente esta operación no es una operación de simetría.
Esta molécula no tiene un eje de rotación propia senario o C(6).
Efectuemos a continuación
una reflexión de los átomos de la molécula
en un plano perpendicular al eje ternario o C(3),
en el punto medio del enlace carbono-carbono.
Este plano, no es un plano de simetría.
La molécula no tiene un plano de simetría horizontal sigma(h).
Por tanto la reflexión en este plano tampoco es una operación de simetría.
Sin embargo, al final de estos dos procesos,
la rotación de 2? partido por 6 radianes y la reflexión,
vemos como la configuración final no se distingue de la original,
es decir, hemos efectuado una operación de simetría.
Repitamos la operación para verla más claramente.
Primero la rotación de 2? partido por 6 radianes en torno al eje C(3).
Y después la reflexión en un plano perpendicular al eje C(3).
Observemos nuevamente esta operación desde otra perspectiva.
Primero la rotación.
Y después la reflexión.
Repitamos nuevamente la operación.
Como hemos visto,
hemos efectuado una operación de simetría, una rotación impropia.
Las rotaciones impropias se designan con la letra S mayúscula,
como la rotación ha sido de 2? partido por 6 radianes,
se añade el subíndice 6, así queda la operación como S(6).
Efectuemos a continuación otra operación S(6).
Como se ha aplicado dos veces la operación S(6),
esta operación se indica con la notación S(6)².
El giro total ha sido de 120º o 2? partido por 3 radianes,
y hemos efectuado 2 veces la reflexión
en un plano perpendicular al eje C(3).
Los átomos de la molécula tienen exactamente la misma posición
que tendrían efectuando una rotación de 2? partido por 3 radianes,
sobre la configuración original.
Por ello esta operación de simetría es igual a la operación C(3).
Efectuemos otra operación S(6) sobre el resultado de la anterior,
es decir, aplicamos tres operaciones S(6) sobre la configuración original.
Hemos efectuado una rotación total de 180º o ? radianes y 3 reflexiones,
o lo que es lo mismo, un giro de ? radianes
y una reflexión en un plano perpendicular al eje de giro.
Los átomos de la molécula de etano tienen exactamente la misma posición
que tendrían efectuando una inversión respecto del centro de simetría.
Por ello la operación S(6)³ es igual a la operación inversión.
Apliquemos ahora cuatro operaciones S(6) a la configuración original.
Hemos efectuado una rotación total de 240º o 4? partido por 3 radianes
y un número par de reflexiones -cuatro-,
que deja a los átomos de la molécula de etano
exactamente en la misma posición que los dejaría la operación C(3)².
Continuemos efectuando operaciones S(6).
Ahora aplicamos cinco operaciones a la configuración original.
Ha sido una rotación total de 300º o 5? partido por 3 radianes
y un número impar de reflexiones -cinco-.
Esto equivale a una rotación de 60º en el sentido inverso de rotación,
seguida de una reflexión.
Es decir, se trata de una operación inversa a la S(6).
Por ello la operación S(6) elevado a 5,
es una rotación impropia, inversa de la operación S(6),
lo que se indica como S(6) elevado a -1.
Efectuemos una última operación S(6).
Es decir, apliquemos seis operaciones S(6) a la configuración original.
Hemos rotado 2? radianes
y hemos efectuado un número par de reflexiones.
En la configuración final,
cada átomo de la molécula tiene exactamente la misma posición
que tenía en la configuración original.
Por ello esta operación de simetría es igual a la operación Identidad.
Hemos obtenido por consiguiente dos nuevas operaciones de simetría,
las rotaciones impropias S(6) y S(6) elevado a 5.
Para la molécula de etano en la conformación alternada,
hemos encontrado estas dos rotaciones impropias.
En general, para otros tipos de moléculas
es posible encontrar otras rotaciones impropias.
En esta relación incluimos algunas de ellas.
Esta tabla contiene todos los tipos de operaciones de simetría molecular;
Identidad, rotaciones propias,
reflexiones, inversión y rotaciones impropias.
Las operaciones de simetría son transformaciones geométricas
que dejan a la molécula
en una configuración indiscernible de la original.
Para definir las dos últimas operaciones,
las rotaciones impropias S(6) y S(6) elevado a 5,
hemos hecho uso de una línea imaginaria
que atraviesa los dos átomos de carbono de la molécula.
Es decir, hemos hecho uso de un eje respecto del cual
se efectuaban las rotaciones, y al mismo tiempo servía como referencia
para definir el plano perpendicular respecto del cual,
se efectuaban las reflexiones.
Esta línea es un elemento de simetría de la molécula
que se denomina eje de rotación impropia,
eje impropio o eje de rotación-reflexión de orden 6
y se representa mediante la notación S(6).
En este caso el eje S(6)
coincide con el eje principal de la molécula de etano C(3).
Es importante darse cuenta de que aunque la molécula tiene un eje S(6),
no existe un eje senario C(6) ni un plano de simetría sigma(h).
Es decir, la existencia de un eje impropio S(n),
no implica necesariamente
la existencia de un eje de rotación propia C(n)
ni de un plano de simetría perpendicular a él.
El eje impropio S(6)
es un elemento de simetría de la molécula de etano
en la conformación alternada
que genera, como ya hemos visto, las seis operaciones de simetría
S(6), C(3), inversión, C(3)², S(6) elevado a 5 e Identidad.
Incorporamos ahora este nuevo elemento de simetría
a la relación que venimos confeccionando desde el principio.
En general, para una molécula cualquiera,
cuando una rotación de 2? partido por "n" radianes,
seguida de una reflexión en un plano perpendicular al eje de rotación,
es una operación de simetría de la molécula,
se dice que ésta tiene un eje de rotación impropia de orden "n",
y se representa mediante la notación S(n).
Completamos así la tabla de elementos de simetría;
ejes de rotación propia, planos de simetría,
centro de simetría o de inversión y ejes de rotación impropia.
Los elementos de simetría son entes geométricos;
líneas, planos, puntos respecto de los cuales
pueden efectuarse operaciones de simetría.
Las operaciones y elementos que hemos considerado
suelen denominarse operaciones y elementos de simetría molecular.
Son operaciones y elementos que aparecen al hacer un análisis
de la simetría de las moléculas,
pero también reciben el nombre más frecuente
de operaciones y elementos de simetría puntual,
porque al aplicar estas operaciones
siempre hay un punto de la molécula que permanece inalterable.
Este punto es precisamente el centro de masas de la molécula.
Las operaciones de simetría que hemos considerado
no suponen una variación de la posición de la molécula
ni de las posiciones relativas de sus átomos.
En consecuencia, su centro de masas
permanece invariante frente a estas operaciones.
Muchas propiedades físico-químicas de las moléculas
están íntimamente relacionadas con su simetría.
Por ello, tiene un gran interés el análisis de la simetría molecular.
La determinación de los elementos y operaciones
de simetría de la molécula,
es el primer paso
para la identificación y clasificación de su simetría.